Extending Differentiation

Nama              : Alif Zakiyatul Fikiryah

NIM                : 13972140003

Prodi               : S1 Pendidikan Matematika

MEMPERLUAS TURUNAN

A.      Turunan

Untuk menurunkan sebuah fungsi seperti   , satu-satunya metode yang bisa digunakan adalah terorema binomial untuk menjabarkan fungsi dalam kurung, dan setelah itu mulai diturunkan satu per satu.

Contoh     : Tentukan turunan dari

a)     

b)     

Jawab       :

a)      Perluas fungsi  dengan menggunakan teorema binomial / segitiga pascal

Jadi,

Akan tetapi, biasanya disajikan dalam bentuk faktor seperti ini

 

b)      Perluas fungsi  dengan teorema binomial

Jadi,

 

Contoh           : Tentukan  dari   !

Penyelesaian :

 dapat ditulis dalam bentuk  kemudian diturunkan dengan menggunakan teorema di dalam kotak.

  

 

B.       Aturan Rantai

Aturan Rantai terkadang disebut dengan fuungsi komposisi. Mengapa demikian? Jika  sedemikian hingga  di mana  dan  adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka  juga mempunyai turunan sehingga :

Dalam bentuk lain dapat diuraikan sebagai berikut :

Misalnya , maka  dan  sehingga

“Pembuktian Aturan Rantai”

1.      Menurut definisi turunan

2.      Menurut Leibniz

 dengan

 , asalkan nili kedua limit ada

 , karena

 

C.      Laju Perubahan

Contoh     :

Terdapat sebuah balon yang sedang dipomppa dengan laju 5 m³s^-1. Pada saat itu, jari – jari balon adalah 4 meter. Tentukan seberapa cepat jari-jari balon akan meningkat pada saat itu!

Penyelesaian         :

I.     Rubahlah situasi di atas ke dalam model matematika.

Biarkan  m³ menjadi volume balon, dan  menjadi jari-jarinya. Begitu juga  detik menjadi waktu dimana balon telah dipompa. Laju perubahannya adalah  dan , dan sekarang mencari  pada saat itu.

Volume balon dihitung dengan menggunakan rumus bola

Dalam menyelesaikan masalah ini adalah dengan menggunakan aturan rantai dalam bentuk seperti di bawah ini :

Kita dapat menggunakan . Kemudian substitusikan semua nilai yang ada dalam aturan rantai.

Jadi, jari-jari akan meningkat pada kelajuan  m/s.
Referensi dari Pure Mathematics.

Untuk lebih jelasnya, silahkan download file nya pada link di bawah ini :

DOWNLOAD DISINI